Въпреки обещанията на просветния министър Даниел Вълчев за по-лесна тройка и по-трудна шестица на изпита по математика, много деца си тръгнаха разочаровани от вчерашния конкурс за гимназиите. 3 варианта на задачи бе подготвило МОН, случайно избран журналист изтегли този с №1.

"В училище не решаваме толкова трудни задачи", коментира след изпита дете от 100-тно училище в столицата. Момчето не е ходило на уроци, защото преценило, че може да се подготви само. То не е успяло да реши вторите подусловия на двете задачи.

Проблеми с тях са имали повечето деца. От просветното министерство съобщиха, че министърът лично е решавал задачите в деня преди изпита и те отговарят на материала в 7-и клас.

Оценката се изчислява по формулата O = 2 + 0.25k, където k е броят на точките. Достатъчно е децата да са решили правилно поне първото подусловие на задача 1, за да имат 3. Пълните указания за оценяване са на сайта на МОН http://www.minedu.government.bg.



Задача 1. Един плодов десерт се приготвя чрез смесване на ягоди, банани, мляко и захарен сироп. Количеството мляко в десерта е с m гр. повече от ягодите, бананите са с n грама по-малко от млякото, а сиропът е толкова грама, колкото са и ягодите. Дадено е, че числото m е корен на уравнението

298 + (1-x)2 - (x-1)(x+1)= 0

И числото n е числената стойност на израза

(-4)4 - (-4)3 - 20

а) намерете m и n;

б) Приготвеният по тази рецепта десерт е разпределен на равни порции по 200 гр. в 7 чаши. Докажете, че количеството на ягодите в 1 чаша, изразено в грамове, е най-голямото цяло число, което е решение на неравенството

y - 4y-3/3 > -16

Колко грама захар съдържа сиропът в 2 чаши, ако той представлява 30% разтвор на захар във вода?

Решение:

От уравнението 298 + (1-x)2 - (x-1)(x+1)= 0 последователно получаваме 298 + 1-2x + x2 - x2 +1 = 0, 300 - 2x = 0, x=150. Следователно m=150.

За числената стойност на израза получаваме (-4)4 - (-4)3 - 20 = 256 + 64 - 20 = 300, следователно n=300.

б) От y - 4y-3/3 > -16 последователно получаваме 3y - 4y + 3> -48, -y> -51, y< 51. Най-голямото цяло решение на неравенството е 50. Означаваме количеството ягоди в десерта с x грама. Тогава в грамове млякото е x + m, бананите са x + m - n и захарният сироп е x. Количеството десерт е 7*200 = 1400 гр, и x + x + 150 + x + 150 - 300 + x = 1400. Оттук x = 350 гр. Количеството ягоди в десерта е 350 гр, и в една чаша има 350: 7 = 50 гр. ягоди. Сравняваме ягодите в 1 чаша с цялото решение на неравенството. В една чаша има 50 грама захарен сироп. Следователно в 2 чаши има 100 гр. захарен сироп. Понеже 30% от 100 е равно на 30*100*100 = 30, то в две чаши има 30 грама захар.

Задача 2. Даден е правоъгълник ABCD, в който дължините на страните AB и BC се отнасят като 3:2. Нека точка M е от страната AB, така че AM = 2 MB, а точка N е средата на страната AD.

а) Ако точка P е средата на отсечката MC и BP = 2 cm, намерете дължините на отсечките MC и MN.

б) Докажете, че < MCB + < MCD = 45 градуса и < NCD > 15 градуса

Решение:

а) Точка P е среда на хипотенузата MC. Следователно отсечката BP е медиана към хипотенузата в триъгълник MBC. От свойството на медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник следва, че MC = 2 BP = 4 cm. Означаваме AM с x. От N - среда на AD, следва, че AD=2x. AD и BC са срещуположни страни на правоъгълник. Затова AD = BC = 2x. От AM = 2 MB и AB: BC = 3:2 следва, че AM = 2x и MB =x. Понеже триъгълник AMN e еднакъв на триъгълник BCN (по I признак, защото AM=BC, AN = MB и < NAM = < MBC = 90 градуса), то MN = MC = 4 cm.

б) От триъгълник AMN еднакъв на триъгълник BCM следва, че < BMC = < ANM. Но < ANM + < AMN = 90 градуса, следователно < BMC + < AMN = 90 градуса. Понеже < BMC + < AMN + 15 градуса е еквивалентно с < BMP > 60 градуса. Наистина: < BMP = < MCD като кръстни ъгли и следователно < NCD = < BMP - 45, т.е. < BMP - 45 > 15 и 60 градуса. От правоъгълния триъгълник MBC следва, че BC < MC. Тогава 1/2 BC < 1/2MC. Следователно в триъгълник MBP e изпълнено MB < MP. От друга страна триъгълник MBP е равнобедрен (MP=BP), откъдето < BMP = < MBP. От свойството, че срещу по-голяма страна в един триъгълник лежи по-голям ъгъл, следва, че < BMP > < MPB. Получаваме 180 = < BMP + < MPB + < MBP < < BMP + < BMP + < BMP = 3 < BMP, т.е. 180 < 3 BMP, следователно < BMP > 60. Следователно < NCD > 15 градуса.