КАКВО Е МАТЕМАТИЧЕСКА ЛОГИКА ?
Отиди на страница:
| Понятието Математическа Логика има двоен смисъл: става въпрос за логиката която се употребява в математиката. Логиката сама по себе си има много важната функция, с чията помощ се извежда Б o A , показва се кое следва от какво. Всяко развитие в математиката се базира на логиката. Един типичен пример е представянето на геометрията в "Елементите" на Еуклид. Теоремите в тази работа са дедуцирани (логически изведени) от аксиомите. Това са логическите ринципи които организират научното мислене и най накрая, нашото ежедневно мислене и организация на живот. Когато говорим за изучаване на логиката в математиката става въпрос за изучаване на логиката с математически методи. И с това имаме вече първияр парадокс:как се изучава логика в матеамтиката без да се употребяват логически методи ? |
И целата логика в математиката, всички теореми със сложни доказателства ... почиват на няколко на брой недоказани и недоказуеми аксиоми...е къде е логиката?  ________________________________ ____ Obama says "Some of what we face today is because of events beyond our control" CNN, Thu, 19:54 11-08-2011 |
| По законите на математическата логика Боката отдавна е паднал. Обаче по битието на логическата математика, при ени избори Боката има пълно мнозинство. Въпроса е математически или логически го крепат дренкоберците. Щото има едни дето го крепат и лингвистично математически. |
| Къде е парадокса ли ? Парадоксът се състои в това че математическата логика се опитва да екстрахира логиката от математиката с помоща на същите правила на логиката. Това може да се сравни с опита да се спасиш от удавяне като сам се дърпаш нагоре за косата. |
| Какъв е изходът от този парадокс - от тази ситуация ? Ние си представяме два езика: когато изследваме логиката в математиката, тази логика принадлежи на обекта - object language - а езикът който употребяваме за да опишeм логиката в математиката наричаме observer language . |
| Салман, до колкото си спомням, има два вида математика едната е висша. Евклидовата геометрия е за начално формиране на математически навици. Тя е стройна, но за съжаление отречена. На един там мислител и теоретик му направило впечатление, че в основата на всичко са постояни величини и съждения. Няма математическа логика, без твърд и достатъчен доказателствен материал......Има парадокси има двусмислие има неразбиране на фундаментални принципи и множество теории, абсурдни и алогични.......За съжаление е така, защото не всичко е изучено и не всичко е чиста материя...... |
| Zamislen, Еуклидовата геометрия не е отречена, само един от постулатите (мисля че е Петия ) се отрича. Щo се отнася за разликата между Аритметика и другите отрасли на математиката както Висшата matematika, принципите на разсъждение са едни и същи. Ние говорим за логическите принципи употребявани в математиката, не за аксиомите и теоремите на математиката. Висшата математика постулира други "истини" от тези на Аритметиката, но принципите на които се правят изводите са едни и същи. |
| И цялата логика се базира на недоказани аксиоми и вие намирате това за напълно логично? Небостъргач, построен върху плаващи пясъци и това никому не прави впечатление...това земляните са редко късогледи същества.  ________________________________ ____ Obama says "Some of what we face today is because of events beyond our control" CNN, Thu, 19:54 11-08-2011 |
се състои в това че математическата логика се опитва да екстрахира логиката от математиката За мен е парадоксално, че някой може да напише такова твърдение. Също така намирам за парадоксално, че хората с гордост демонстрират как нямат представа що е то доказателство (научно и математическо), що е теория, теорема, аксиома, що е научен метод. Може да правите изводи (кое стояло на плаващи пясъци и кое - не) само след като сте си изяснили понятията, които така свободно употребявате. Това е все едно да коментирате някаква партитура, при положение, че изобщо не четете ноти. Редактирано от - Die Hexe на 04/9/2011 г/ 15:01:02 |
| Тази част от логиката с която се започва всяко изучаване на предметa Логика и която е обща както за всекидневния език който говорим така и за науката и математиката е Пропозициалната логика или Propositional claculus. Propoisition означава на английски смисъл (meaning) на едно изречение (sentence). |
| Салман, чети тук: Геометрия в первоначальном своем значении понималась как наука о фигурах, о взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразованиях фигур. История геометрии теряется в глубокой древности, но колыбелью ее, несомненно, является Восток. Развитие геометрии можно характеризовать четырьмя периодами, границы которых нельзя отделить какими-то определенными годами. Первый период — период зарождения геометрии — относится ко времени примерно до V в. до н. э. и связан с развитием культуры землемерия в древнем Египте, Вавилонии и Греции. Религиозные обряды связывались с построением жертвенников, практические потребности людей приводили к необходимости измерения площадей земельных участков, объемов (емкости) сосудов, корзин и зернохранилищ. Геометрические сведения и факты в основном сводились к правилам о вычислении площадей и объемов, и надо полагать, что эти правила носили больше эмпирический, чем логический характер. В VII в. до н. э. геометрические сведения были, по мнению греческих историков, перенесены из Египта и Вавилонии в Грецию. Греческие философы стали знакомиться с египетской и вавилонской мудростью. С этого времени начинается второй период развития геометрии — период систематического изложения геометрии как науки, где все предложения доказывались. К этому периоду были уже известны в Греции теоремы Фалеса (VI в. до н. э.). Фалес путешествовал в Египет и заимствовал сведения по геометрии и астрономии у жрецов о сумме углов в треугольнике, о вписанном угле и др. Анаксагор (VI в. до н. э.) занимался квадратурой круга и перспективой. Пифагор открывает несоизмеримые отрезки (иррациональные числа), доказывает теорему, носящую его имя. Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) — последователь Пифагора — изложил систематически геометрию («Элементы» геометрии) и определил площадь луночки. Платон и его ученик Аристотель (IV в. до н. э.) хотя и не оставили никаких трудов по геометрии, но придавали большое значение системе и обоснованию геометрии, они положили начало определениям и аксиомам. Таким образом, геометрия достигла такого развития в Греции, что необходимо было ее систематизировать. Таким систематизатором был Евклид (III в. до н. э.), изложивший геометрию (элементарную) на базе основных предложений — аксиом в своих знаменитых книгах «Начала» (элементы), содержащих 13 томов. После Евклида появляется в Греции ряд выдающихся математиков — Архимед, Аполлоний, Эратосфен (III в. до н. э.) и др., которые обогатили геометрию новыми открытиями. Падение античного рабовладельческого строя привело к застою в развитии геометрии в Греции, однако она развивалась в странах арабского Востока, в Средней Азии и Индии. Зарождение капитализма в Европе привело к новому, третьему периоду развития геометрии — созданию в первой половине XVII в. аналитической геометрии, творцами которой были Декарт и Ферма. Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических фигур по их алгебраическим уравнениям, опираясь на метод координат. В связи с развитием дифференциального исчисления и исследованием геометрических свойств фигур локального характера (в окрестности данной точки) возникла в XVIII в. дифференциальная геометрия в работах Эйлера, Монжа. В работах Ж. Дезарга и Б. Паскаля зародилась в первой половине XVII в. проективная геометрия, которая возникла сначала при изучении изображения перспективы, а затем при изучении тех свойств фигур, которые не изменяются при проектировании с одной плоскости на другую из какой-либо точки пространства (центральное проектирование), и впоследствии была завершена в трудах Ж. Понселе. Четвертый период развития геометрии знаменуется созданием неевклидовых геометрий, первой из которых является геометрия Лобачевского, созданная им при исследовании обоснования геометрии, и в частности аксиомы о параллельных прямых. Содержание своей геометрии Н. И. Лобачевский впервые доложил на заседании физико-математического факультета Казанского университета в 1826 г. Работа была опубликована в 1829 г. Венгерский математик Янош Бойаи опубликовал работу по тому же вопросу в 1832 г. и в менее развитой форме. С момента создания геометрии Лобачевского роль аксиоматического метода в математике вообще и в геометрии в частности стала весьма важной. Евклидова геометрия (обычная элементарная геометрия, изучаемая в школе) получила впоследствии свое аксиоматическое обоснование. Аксиоматическое обоснование получили и другие геометрии: Лобачевского, проективная, аффинная, многомерная евклидова (n-измерений) и др.  Нажмите здесь |
| Аксиома е нещо, което не се нуждае от доказателство и е прието априори за верно. Верно ли е, математическа разбирачко? В математиката има много на брой теореми и сичките требе да се доказват. Обаче сичките те почиват, демек се базират, върху неколко на брой аксиоми - твърдения, които са приети изначално за верни и немат нужда от доказателства. Аналогичен случай да приема за аксиоми: Бог съществува. Бог е един. Бог е всемогъщ. И оттук нататък да си строя сичките логимески концепции, теореми и прочее връз тия три изначално приети за вери аксиоми. Що не? М? През една точка не може да мине повече от една права, успоредна на друга права. И през една тримерна вселена не може да се разположи повече от един Господ Бог. Познай от три пъти къде е разликата в двете аксиоми? Щото разлика нема и двете са очеизвадно верни. ________________________________ ____ Obama says "Some of what we face today is because of events beyond our control" CNN, Thu, 19:54 11-08-2011 |
| Има голяма разлика, Кайли. Опитът ти да приравниш математиката и религията е неуспешен. Математически подходи в религията не се използват. Това е и част от причината религията да не се възприема като наука. Разликата е следната: В религията няма нужда от доказателства, понеже по дефиниция вярата определяща е вярата. Има доста хора, които се опитват да отрекат съществуването на Бог чрез допускане на противното и разсъждения от сорта че ако всичко е създал тогава него кой го е създал и т.н. Грешката им е че се опитват прилагат логика където тя е неприложима и да гледат на вярата като система от аксиоми. Нещата в които вярваш може да се разглеждат като безусловно вярни и от тях не се правят изводи. В математиката не е така - погрешно да се твърди. че аксиомите са вярни - това, което се твърди е, че ако те са вярни, то изведените следствия са вярни. Затова в математиката съществуването на взаимно изключващи се теории като геометрията на Евклид с прочутия Пети постулат, както на Лобачевски с друга версия на този постулат(несъвместима с първата) и на Риман с трета версия(несъвместима с първите две) са валидни теории. И математиците не се опитват да "докажат" коя е вярната - и трите са верни. |
| Зададеният от Салман въпрос е резонен. Проблемът е, че правилата за извод се разглеждат като външни за системата от аксиоми. И следователно възниква въпросът дали методът за доказване е верен. Тоест, предпоставка за верността на теоремата не са само аксиомите, а също и правилата за извод. И кое прави тези правила непроменими, не може ли например както аксиомите, да променяме логическите правила за изводи и съответно да се получи нова теория?Ще дам първо отговора - от всяко дърво свирка не става - не всяка система от аксиоми е валидна и валидността на системата се разглежда именно от гледна точка на логическите правила за извод. Т.е. математиците разглеждат само такива системи от аксиоми, за които важат логическите правила за извод - системи, които са непротиворечиви и пълни. Непротичоречива означава, да не съществува твърдение А, за което (А) и (не А) са едновременно вярни. Пълна е ако за всяко твърдение(за изследваните обекти) може да се каже дали е вярно или не. Това изглежда отвлечено, обаче нека разгледаме широко използвания и интуитивно ясен метод с допускане на противното. Метода всички го знаят, ако искаме да докажем че твърдението (А) е вярно, допускаме, че (не А) е вярно и достигаме до противоречие ( което в общия случай е равносилно на твърдението че (А) е също вярно. И това се смята за достатъчно за да се докаже че (А) е вярно. Агрументацията е, че обратното твърдение е грешно. Дали винаги е така? Това зависи от системата от аксиоми. Да се върнем на прословутия Пети постулат на Евклид ( който твърди, че в равнината през всяка точка вън от дадена права минава точно една права успоредна на дадената). От съществуването на алтирнативни геометрии(по отношение на този постулат) следва, че системата аксиоми без този постулат е непълна, следователно ако изключим тази аксиома, методът с допускане на противното няма да работи.  |
| Една и съща пропозиция (meaning) може да бъде отразена от две различни изречения (sentences), например "Иван обича Донка" изразява същото като "Донка е обичана от Иван"или "Иван е по-висок от Драган" и "Драган е по-нисък от Иван". В математиката " 3 + 2 = 5 " е също едно изречение което отразява (чиито смисъл е) резултатът на един математически процес. Това важи за всички уравнения тоест всички смислени изречения които съдържат знакът "=". "= + 5 2 " не е смислено и поради това не е уравнение. Едно изречение което е смислено е или вярно или невярно. Това важи за всички изречения включително и математическите. Ако Иван не обича Дочнка двете изречения горе не са вярни. "3 + 2 = 5 "по горе е вярно но "3 + 2 = 4 " не е вярно. |
...Това е и част от причината религията да не се възприема като наука... Ехх, мъ убаво щеше да я докараме таа пуста религия до некакъф вид "наука"...па като я зачепрастим и разпердушиним Мъ куту неще  Саде я обикаляме куту объл камик - нема ут де да го подфанеш  Лъжата, която прилича на истина, не е по- добра от истината, която прилича на лъжа - <Кабус Наме> |