Задача 1.
а) Да се реши неравенството

(x+1/2)(x-1/2) - 3x(1-x) > (2x - 1)2 - 1/2 (1/2 - 6x)

и да се провери дали числото

а = |3 - 5|. (-2/3*11/2)5

е решение на неравенството.

б) Пътят от град А до град В отначало минава през планинска местност, а след това през равнинна местност. Автомобил изминал пътя от А до В, като в планинската местност се движил със скорост 40 km/h, а в равнината местност - със скорост 60 km/h. Обратният път от B до A автомобилът изминал за 21 min по-бързо, като в равнинната местност се движил със скорост 80 km/h, а в планинската местност - със скорост 50 km/h. Дължината на пътя в равнинната местност е 3 пъти по-голяма от дължината на пътя в планинската местност. Да се намери дължината на пътя от А до В и времето, за което автомобилът е изминал пътя в планинската местност и в двете посоки.

Задача 2. Даден е триъгълник АВС, в който АС>BC, < ACB = y (y е мярката на < ACB) и CL (L принадлежи на АВ) е ъглополовяща на < ACB.
a) Ако y = 60 градуса, < ABC = 3 < BAC и CL - 6 cm, да се намерят ъглите на триъгълник ALC и на триъгълник LBC, разстоянието от т. L до правата АС и да се докаже, че LB < AL.
б) Да се докаже, че < BLC < 90 градуса. През върха C е построена права m, перпендикулярна на CL, която пресича правата AB в т. P. Ако AP = AC + CB, да се намерят (да се изразят чрез y) < BAC и < ABC. При какви стойности на y задачата има решение.

КРАТКИ РЕШЕНИЯ НА ЗАДАЧИТЕ

Задача 1.
а) От неравенството

(x+1/2)(x-1/2) - 3x(1-x) > (2x - 1)2 - 1/2 (1/2 - 6x) след тъждествени преобразувания получаваме неравенство

- 2x > 1, което има решение x< - 1/2; x принадлежи ( - безкрайност, - 1/2)

числото а = |3-5|* (-2/3*3/2)5 = |-2|*(-1)5 = - 2. И тъй като - 2 < - 1/2, то а принадлежи ( - безкрайност, - 1/2) и следователно е решение на неравенството.
б) Означаваме с X дължината на пътя в планинската местност. тогава дължината на пътя в равнинната местност е 3X. Времето, за което автомобилът се е движел от А до B в планинската и в равнинната местност е съответно x/40 и 3x/60. Тогава времето t1, за което автомобилът се е движил от А до В е t1 = x/40 + 3x/60. Аналогично се пресмята и времето t2, за което автомобилът се е движил от В до А - t2 = 3x/80 + x/50. Тъй като t1 > t2 с 21 min r.r 21/60 h, получаваме равенството
t1- 21/60 = t2 и уравнението x/40 + 3x/60 - 21/60 = x/50 + 3x/80.

Оттук получаваме x/4 + x/2 - 7/2 = x/5 + 3x/8 и x = 20.

Тъй като целият път от А до В е 4x, то пътят от А до В е 80 km. Времето, за което автомобилът е изминал пътя в планинския участък и в двете посоки е

20/40 + 20/50 = 1/2 + 2/5 = 9/10; 9/10 h или 54 min.

Задача 2.
а) Означаваме < BAC = x. Тогава < ABC = 3x (черт. а). От x + 3x + 60 = 180 градуса получаваме < BAC = 30 градуса и < ABC = 90 градуса. Тогава ъглите на триъгълник LBC са: < LBC = 90 градуса, < BCL = 30 градуса и < BLC = 60 градуса. Ъглите на триъгълник ALC са: < LAC = < LCA = 30 градуса, а < ALC = 120 градуса. Нека L1 принадлежи на AC и LL1 е перпендикулярна на AC. Тогава LL1 е катет в правоъгълния триъгълник LL1C и лежи срещу ъгъл от 30 градуса. Оттук следва, че LL1=3 cm. Тъй като LB е катет в правоъгълния триъгълник LBC, a LC е хипотенуза, то LB < LC. В равнобедрения триъгълник ALC AL = LC и оттук следва, че LB < AL.

б) Означаваме < BLC = y (черт.б). Тъй като щ е външен ъгъл за триъгълник ALC, получаваме y = a + Y/2 = a + 180 - (а + b)/2 = 2a + 180 - a - b/2 = 90 + a - b/2 < 90 градуса. Тъй като a-b< 0 ( от АС > BC следва, че b>a, а a - b < 0). От CL ъглополовяща на < ACB следва < ACL = < BCL = y/2 (черт. в). Тъй като m е перпендикулярна на CL, то < BCP = 90 - y/2. Тогава
УКАЗАНИЕ ЗА ОЦЕНЯВАНЕ НА ПИСМЕНИТЕ РАБОТИ
Крайната оценка на всяка писмена работа се определя по формулата:
O = 2 + 0.25k, където k е броят на получените точки.
Разпределение на точките:
Задача 1.

а) разкриване на скобите (x+1/2)(x-1/2); - 3x(1-x); (2x - 1)2; - 1/2 (1/2 - 6x)	Съответно 4 по 0.25 = 1 т.
- извършване на приведение	1 т.
- решаване на неравенството -2x > 1	0.75 т.
- пресмятане на a = -2	0.75 т.
- определяне, че a = -2 е решение на неравенството	0.50 т.

б)

- въвеждане на неизвестно	0.25 т.
- изразяване на пътя в планинската местност и на пътя в равнинната местност	Съответно 2 по 0.25 = 0.5 т.
- изразяване времето за движение от A до В ( в планинската местност и в равнинната)	Съответно 2 по 0.25 = 0.5 т.
- изразяване времето за движение от В до А ( в планинската местност и в равнинната	Съответно 2 по 0.25 = 0.5 т.
- съставяне на математическия модел	0.75 т.
- решаване на уравнението	0.75 т.
- определяне на дължината на пътя от А до В	0.25 т.
- намиране на времето за движение в планинската местност	0.50 т.

Задача 2.
а)

- съставяне на уравнение за ъглите на триъгълник ABC	0.50 т.
- намиране на < ABC и < BAC	Съответно 2 по 0.25 = 0.5 т.
- намиране ъглите на триъгълник ALC	0.50 т.
- намиране ъглите на триъгълник BCL	0.50 т.
- доказване, че LL1 = 1/2CL (L1 принадлежи към AC, LL1 е перпендикулярна на AC)	0.50 т.
- намиране на LL1	0.25 т.
- доказване, че LB < LC и LC = AL	Съответно по 0.5 и 0.25 = 0.75 т.
- доказване, че LB < AL	0.50 т.

б)

- доказване, че < BLC < 90 градуса	0.50 т.
- доказване, че m е ъглополовяща на външен ъгъл при върха C	0.5 т.
- построяване на AC + CB = AB1 (B1 принадлежаща към AC и C е между А и В1)	0.25 т.
- доказване, че < APB1 = < AB1P = 90 - x/2 ( < PAB1 = x)	0.25 т.
- доказване, че триъгълник BPC е еднакъв с триъгълник B1PC	0.25 т.
- доказване, че < PBC = x + y	0.25 т.
- получаване на x + y = 90 - x/2	0.25 т.
- намиране на < BAC = 60 - 2/3y	0.25 т.
- намиране на условия за съществуване на < BAC	0.50 т.
- намиране на < ABC = 120 - 1/3y	0.25 т.
- намиране на условия за съществуване на < ABC	0.50 т.
- доказване, че 0 < y < 90	0.25 т.