Какви ли щяха да са приключенията на Алиса в страната на чудесата без Чеширския котарак, Херцогинята, Лудия шапкар? В оригиналната история, която един ден чуват Алис Лидъл и двете й сестри в една лодка край Оксфорд, тези герои липсват. Какво е накарало авторът да ги добави впоследствие?

ХIХ век е бурно време за математиката. Научната общност ожесточено дебатира по нови и противоречиви понятия. Математикът от Оксфорд Чарлз Доджсън е заклет консерватор. Над всичко поставя Евклидовите "Елементи". Трактатът, смятан от някои за най-успешната книга на всички времена, полага основите на геометрията. Но най-важното в него е стройната постановка на разсъждение, която развива принципите на цялата съвременна наука: започва се от няколко неоспорими истини и на тяхната основа се изграждат сложни аргументи посредством прости, логични стъпки.

В продължение на векове този подход се е възприемал като връх на математическата и логическа мисъл. За изумление на Доджсън обаче неговите съвременници започнали да му изневеряват. И рутинно да използват на пръв поглед абсурдни понятия като имагинерните числа - числа, чийто квадрат е отрицателно число. Те нямат реални количествени измерения като целите числа и дробите. И Доджсън смятал тази нова математика за абсурдна. Но тъй като нямал надмощие в специализираната периодика, отнесъл възмущението си в литературата. Използвайки фундаменталната техника, позната от доказателствата на Евклид - reductio ad absurdum (букв. довеждане до абсурд - серия от съждения, които логически продължават противниковата теза до установяване, че тя води до абсурден резултат и следователно не може да е вярна), той разпердушинил новата абстрактна математика. Резултатът е "Алиса в страната на чудесата", която Доджсън подписва с псевдонима Луис Карол.



Алгебра и наргилета

Да вземем главата "Съветът на една Гъсеница". На този етап Алиса вече е паднала в заешката дупка и е изяла поредната баничка, която я е смалила до 1 см. В този момент попада на Гъсеница с наргиле, която й показва гъба за връщане на нормалния ръст. Проблемът е, че едната страна на гъбата й удължава шията, а другата й смалява ужасно тялото. За да си върне нормалния вид, Алиса трябва да отхапе точното парче.

Мнозина тълкуват тази сцена - с наргилето и вълшебната гъба, като посветена на наркотиците. Математиците обаче виждат тук сатира на невъзможността на символната алгебра, която разкъсва връзките между алгебрата, аритметиката и любимата на Доджсън геометрия. В следващите глави на книгата има много по-ясни математически аналогии, но тук всичко е деликатно и игриво, загатващо за лудостта, която ще последва.

Август де Морган, първият британски математик, поставил основите на символната алгебра, използва директния превод от арабските математически трудове - al jebr e al mokabala, или "възстановяване и намаляване". Това, ако си спомняте, съвсем точно описва случващото се с Алиса, която все търси нещо за изяждане или изпиване, за да си върне нормалния ръст. Но щом отхапва от гъбата, настъпва al mokabala и брадичката й се удря в краката, защото изведнъж се е смалила.

Де Морган излиза извън пределите на универсалната аритметика - там, където алгебричните символи заместват числата, съответстващи на точни количества от материалния свят. Днес използваме символната алгебра като езика, на който комуникираме връзките между математическите обекти, но викторианците имат съвсем различно разбиране. По това време дори символната алгебра продължава да държи, макар и индиректна връзка с количествените измерения на числата. Де Морган обаче иска да прекъсне дори беглите асоциации с това и предлага символната алгебра да се разглежда като граматическа система. Ако "смалим" алгебрата от универсална аритметика до серия от логически, но чисто символни операции ще можем да "възстановим" нейното по-дълбоко значение. Как точно ще стане това обаче, математикът не успява да каже.



Алиса се ядосва

Лудостта на Страната на чудесата отразява вижданията на Доджсън за опасностите от новата алгебра. Алиса излиза от един рационален свят и попада в земя, където дори числата се държат произволно. В коридора тя се опитва да си спомни таблицата за умножение, но тя се е изплъзнала от десетичната бройна система. В главата за Гъсеницата ръстът на Алиса се променя от 3 метра до 1 сантиметър. Свикнала на конвенционалната аритметика, Алиса се тревожи: "Да бъдеш в един ден ту голяма, ту малка е доста объркващо". "Не, не е", отговаря й Гъсеницата, която естествено живее в един абсурден свят.

В края на тази сцена Гъсеницата предупреждава Алиса: "Не се ядосвай". Алиса приема този съвет буквално, но тук има игра на думи. В английския текст е използвана думата temper ("настроение", "нрав"), чието оригинално значение е "пропорция за смесване на вещества". Т.е. Гъсеницата може да предупреждава Алиса да се запази в правилната пропорция независимо от ръста. И пак стигаме до любовта на Доджсън към Евклидовата геометрия, където абсолютните величини нямат значение - важно е съотношението на една дължина спрямо друга, когато се преценява един триъгълник, например. За да оцелее в Страната на чудесата, Алиса трябва да действа като Евклидов геометър и да запази пропорциите си константни дори и при промяна в ръста. Естествено, Алиса не успява да се справи с това. Глътва парче гъба и шията й пораства до небесата, докато не глътва друго парче.



Появява се Херцогинята

В следващата глава "Прасе и пипер" Доджсън пародира друга област от геометрията. Алиса си връща нормалния вид, но се смалява, за да се пъхне в една малка къщичка. Там среща Херцогинята, която кърми бебето си в кухнята, докато готвачката й слага твърде много пипер в супата и всички започват да кихат с изключение на Чеширския котарак. А щом Херцогинята дава бебето на Алиса, то изведнъж се превръща в прасе. Тук атаката е срещу проективната геометрия. Тя изследва свойствата на фигурите, които не се променят при проекция върху друга равнина. Или, според теоремата на Понселе - ако една фигура претърпи непрекъснато изменение в определени граници и ако приемем, че запазва едно общо свойство, то същото свойство ще притежават всички вариации на тази фигура.

Разбира се, Понселе има предвид геометрични фигури, но Доджсън игриво прилага теоремата до извеждането на крайни изводи - каквото е вярно за един триъгълник, трябва да е вярно и за едно бебе, ако не - значи теоремата е грешна. Когато Доджсън превръща бебето в прасе, той запазва повечето му черти, както би трябвало да стане и при Понселе. Алиса разбира за трансформацията чак когато кихавиците се превръщат в грухтене.

При Херцогинята всички са лоши - тя е отвратителна майка, готвачката е ужасна и пълни кухнята с пушек. Затова Алиса избягва и попада на чаеното парти на Лудия Шапкар.

Чаеното парти на Лудия Шапкар се занимава с работата на ирландския математик Уилям Роуън Хамилтън. Хамилтън умира през 1865 г., малко след издаването на "Алиса в страната на чудесата". През 1843 г. той открива кватернионите - крайъгълен камък за абстрактната алгебра, тъй като дават алгебричен метод за изчисление на ротации. Кватернионите принадлежат към 4-мерна система. Години наред Хамилтън опитва да разшири двумерното понятие за комплексно число до традиционната 3-мерна система на Евклид, но не успява. Когато към трите пространствени измерения прибавя четвърто, най-сетне постига успех, но не може да дефинира този допълнителен елемент. Затова решава да го отдаде на времето.

Паралелите между закуската при Лудия Шапкар и Хамилтъновата математика са поразителни. Алиса сега е на масата с три странни образа - Шапкаря, Мартенския заек и Катерицата. Тук Времето е личност и отсъства, тъй като се е скарало с Шапкаря. За отмъщение не му позволява да премести часовника на повече от 6. Вече разпознавате трите измерения на кватерниона, в който липсва най-важното четвърто - времето. Без Времето героите са заклещени на масата с чая и непрекъснато се местят, за да намерят чисти чаши и чинийки. Въртенето им около масата напомня за ранните опити на Хамилтън да изчисли ротацията върху една равнина. Дори Алиса не може да спре тримата, тъй като тя не е четвъртият липсващ елемент.

В края на сцената Шапкаря и Заека се опитват да пъхнат Катерицата в чайника. Това може да е техният път към свободата. Ако го изгубят, ще могат да съществуват независимо, като 2-мерно комплексно число. Все така луди, според Доджсън, но поне отървани от безспирните обиколки около масата.

Тук подигравките на Доджсън към колегите му изглежда свършват. Но какво щеше да остане от "Алиса" без тях? Само оригиналната детска приказка "Приключенията на Алиса под земята" - очарователна, но без характерните безсмислици. И тогава може би нямаше да сме чували за нея днес.