Участниците в проекта mathEU вече са готови с уникално по рода си помагало, предназначено за талантливи ученици в две възрастови групи - от 9 до 14 и от 15 до 18 г. За съставянето на книгата е използвана така наречената философия на стълбата - започва се от лесни задачи, като трудността постепенно нараства. Наред със самите условия и решения на задачите в помагалото са включени допълнителни модули с обяснения за различните математически принципи, така че учениците да могат да го ползват и самостоятелно.
Помагалото ще се прилага от училищата в България, Кипър, Чехия, Германия, Гърция, Италия, Румъния и Унгария. Предстоят и обучения на учители по приложената в него методика. Амбицията на българските партньори е в обучението да бъдат обхванати учители от всички математически гимназии, както и педагози от езикови училища. Участниците в обученията ще получат помагалото безплатно. Пълна информация за проекта има на сайта http://www.matheu.org. Ето няколко примерни задачи с повишаваща се трудност, предназначени за възрастовата група от 9 до 14 г.
НА ПОДЛОЖКА Принцип на Дирихле
Ако в двата джоба на панталона си искате да сложите три топчета, то в единия джоб непременно ще се окажат поне две от тях. Също така, ако поставите четири кутии в три чекмеджета на бюрото си, няма как във всяко чекмедже да се окаже най-много по една кутия. Тези очевидни наблюдения са в основата на едно основно правило, т.е. на принцип, който гласи: ако m предмета се разпределят в n групи и m>n, то в една от групите ще попаднат поне два предмета.
В някои държави, например Франция, принципът е известен като "принцип на чекмеджетата", а в България и Русия - като принцип на Дирихле.
Задача 1. От анатомията е известно, че броят на космите по главата на човека е по-малък от 200 000. Да се докаже, че в град София живеят поне двама души с равен брой косми на главата.
Решение: Да си мислим 200 000 чекмеджета, които са номерирани с числата от 1 до 200 000. "Поставяме" всеки жител на София в чекмедже, чийто номер съвпада с броя на космите на главата на този жител. Понеже жителите на София са повече от броя на чекмеджетата, твърдението следва от принципа на Дирихле. Подобно твърдение остава в сила и за всяка друга столица, чийто брой жители е не по-малък от числото 200 000.
Задача 2. Шестима приятели се надпреварват в стрелба по мишена. Да се докаже, че поне двама от тях имат равен брой улучвания, ако улучванията на шестимата са общо 14.
Решение: Да разгледаме чекмедже с номер 0, в което поставяме тези от участниците в надпреварата, които имат 0 улучвания. Аналогично разглеждаме чекмеджета с номер 1,2,3 и т.н. до 14. Ако допуснем, че шестимата приятели попадат в 6 различни чекмеджета, то общият брой улучвания ще бъде поне 0+1+2+3+4+5 = 15, което противоречи на условието, че улучванията са 14. Заключаваме, че поне двама са с равен брой улучвания.
Задача 3. В магазина пазаруват едновременно 7 души. Да се докаже, че поне двама от тях имат равен брой познати измежду останалите.
Решение: Да забележим най-напред, че всяко познанство е взаимно, тоест ако А познава В, то и В познава А. В математиката това свойство се нарича рефлексивно. Всеки от пазаруващите в магазина има 0, 1, 2, 3, 4, 5 или 6 познати измежду останалите. Но ако има пазаруващ с 0 познати, т.е. има посетител в магазина, който не познава никого от останалите, то според рефлексивното свойство не може да има посетител с шестима познати. По броя на познатите, които имат, пазаруващите могат да се разделят на 6 групи, т.е. да се поставят в 6 "чекмеджета". Възможни са 2 случая. В единия случай в първата група попадат хората с 0 познати, във втората група - с 1, в третата - с 2, в четвъртата група - с 3, в петата - с 4, и в шестата - с 5. Във втория случай в първата група попадат хората с 1 познат, във втората група - с 2 познати, в третата - с 3, в четвъртата - с 4, в петата - с 5 познати, и в шестата - с 6. И в двата възможни случая групите са 6. Понеже пазаруващите са 7, то твърдението следва от принципа на Дирихле.
В последната задача използвахме, че ако двама души нямат нито един познат, то те също са с равен брой познати. Горната задача е частен случай от т.нар. задача за познатите, която гласи така: За всяка група от n човека съществуват двама, които имат равен брой познати измежду участниците в групата.
Задача 5. В един жилищен квартал живеят 123 души, сумата от годините на които е равна на 3813. Да се докаже, че могат да се изберат 100 жители в квартала, сумата от годините на които е не по-малка от 3100.
Решение: Да подредим всички жители по големина и да разгледаме най-възрастните 100 от тях. Най-младият от тях не е по-млад от който и да е от останалите 23 жители. Ще докажем, че сумата от годините на избраните 100 е не по-малка от 3100. Ако допуснем противното, ще следва, че най-младият от 100-е е под 31 години. Същото важи и за 23-имата извън избраните 100. Тогава общата възраст на 23-ата е по-малка от 23*31=713, а възрастта на всичките 123 жители е по-малка от 713+3100 = 3813. Това е противоречие. Да отбележим, че сумата 3100 се реализира, когато най-възрастните 100 жители са всички на по 31 години.
Задача 6. Да се намери стойността на дробта, ако на различните букви съответстват различни цифри, а на еднаквите букви - еднакви цифри:
D*I*R*I*C*H*L*E*T
P*R*I*N*C*I*P*L*E
Решение: Чекмеджетата са 10-е възможни цифри и те са с ограничение - във всяко от тях може да се постави най-много една буква. Понеже буквите, които участват в ребуса, са 10, следва, че една от тях отговаря на нулата. Нулата не може да е в знаменателя. Тя е в числителя и значи стойността на дробта е 0.
Млади математически таланти с проф. Гроздев и министър Даниел Вълчев
btafoto Lili_p 00